Odissea nello spazio geometrico

L´immaginazione del matematico si può paragonare per certi versi al viaggio che Ulisse fu costretto a compiere per tornare a Itaca dopo la distruzione di Troia. Il paragone, che sembrerebbe ispirato a un gusto spericolato della metafora, fa invece parte di una importante riflessione di Proclo, il grande filosofo neoplatonico del V secolo autore di un celebre Commento al I Libro degli «Elementi» di Euclide. Proclo provò infatti a spiegare, con argomenti tutt´altro che obsoleti, il significato dell´invenzione geometrica, di quella produzione così varia, per non dire sterminata, di forme e di figure con cui siamo soliti organizzare lo spazio che ci circonda. Per Proclo la ragione del geometra possiede sì i concetti, ma non è capace di vederli se non proiettandosi all´esterno, dispiegandoli nell´immaginazione, in varie composizioni e scomposizioni di figure, e solo dopo aver considerato la moltitudine di forme e raffigurazioni le rivolge di nuovo verso l´unità di una conoscenza intellettiva. Lo studio della geometria sarebbe allora, scrive ancora il filosofo neoplatonico, un dono di Ermes il quale, prendendo le mosse dalla ninfa Calipso, sapeva risvegliare con la sua verga gli uomini dal sonno e ricondurre l´opera dell´immaginazione a una conoscenza più completa e affrancata dagli impulsi dispersivi della fantasia: un ritorno all´intelletto simile a quello di Ulisse a Itaca.
Il nuovo libro di Piergiorgio Odifreddi, C´è spazio per tutti, appena pubblicato per Mondadori (pagg. 266, euro 22), ha ora il merito di descrivere in forma sintetica, brillante e mai dispersiva, questa incredibile varietà di figure e di immagini che la fantasia matematica è in grado di produrre; da una parte quindi un percorso variegato, quasi un "giro smarrito", nella molteplicità variegata e proteiforme delle immagini, dall´altra le ragioni che consentono di astrarre, di dimostrare, di studiare l´equivalenza di diverse figure, di definire e calcolare rapporti e proporzioni, di costruire figure simili, ossia di collegare con l´intelletto la pluralità delle forme e di costruire infine quella scienza geometrica che è l´imponente e incredibile invenzione del genio greco. Si tratta forse del primo capitolo di un più vasto "racconto della geometria", un progetto che si limita per ora alle conoscenze più antiche, dall´India e dall´Egitto fino ai grandi matematici dell´epoca ellenistica, come Euclide, Archimede o Apollonio.
Come dimostra Odifreddi, che offre pure al lettore un attraente corredo iconografico, la grande varietà di figure create dalla fantasia matematica trova riscontro in ogni aspetto del mondo reale. Siamo letteralmente circondati dalla geometria e spesso non ce ne accorgiamo neppure. Immagini geometriche più o meno regolari si trovano nelle arti, come la pittura e l´architettura, sia antiche che moderne. Ma spesso è la stessa natura a offrircene esempi mirabili, alcuni direttamente osservabili, per esempio nei radiolari o nei cristalli, altri collegabili ai modelli più o meno attendibili con cui l´uomo ne descrive i fenomeni, come il tetraedro, nei cui vertici sembrano disporsi gli atomi del metano o del fosforo bianco, oppure il sistema di solidi regolari incastrati l´uno nell´altro con cui Keplero si era immaginato il sistema solare.
Lo spazio allora non è solo oggetto di uno studio scientifico, ma è pure un nostro concetto del reale, un ambito di esperienza concreta che coinvolge perfino, come aveva già osservato Leonardo Sinisgalli, sentimenti ed emozioni. Odifreddi considera quasi esclusivamente, in questa prima parte del suo "racconto", lo spazio euclideo, ma sposta pure incidentalmente e opportunamente l´attenzione del lettore su altri tipi di spazio, quelli non-euclidei dovuti agli studi più avanzati, nel XIX secolo, di Gauss, Bolyai, Riemann e Lobacevskij. Lo spazio euclideo è omogeneo, illimitato, isotropo, continuo e, come si dice, "a curvatura zero", caratteristiche che non sempre si trovano nella nostra percezione della realtà, e neppure nell´esperienza artistica, come si vede in certi quadri stranianti e allucinati di Vincent van Gogh.
La geometria elementare di Euclide poggia sul celebre postulato delle parallele che, nella formulazione di Proclo, afferma che per un punto fuori di una retta passa una sola parallela alla retta. La premessa di altre geometrie, che si sono dimostrate più idonee alla descrizione dell´universo fisico, è di non assumere a priori quel postulato come vero o come falso. Un´idea di John Wallis, enunciata nel 1663, era di stabilire un´equivalenza tra il postulato delle parallele e il principio in base al quale per ogni figura ne esiste una simile di grandezza arbitraria. Un´idea di estremo interesse, che ci proietta sia indietro che in avanti nella storia. In avanti, perché è facile dimostrare che certi concetti basilari dell´analisi e del moderno calcolo scientifico poggiano sui modi di ingrandire una figura mantenendone invariata la forma. Dalle tecniche di ingrandimento di un quadrato dipendono infatti l´idea analitica di "incremento", i metodi di linearizzazione e il calcolo iterativo, basato sull´applicazione ripetuta, passo per passo, di uno stesso operatore a stime numeriche sempre più vicine alla soluzione cercata. Ma l´idea di Wallis ci sposta pure all´indietro, perché tra le prime applicazioni di costruzione con riga e compasso, a partire circa dal VII secolo a.C., figurano le costruzioni di altari vedici in diverse scale di grandezza, una geometria che potrebbe avvalorare la congettura su un´origine rituale della matematica.
Lo scetticismo di Odifreddi in materia di credenze religiose, dimostrato qua e là in questo libro come in altri, non deve ingannare troppo: il suo, azzardo l´ipotesi, è un interesse ex contrario, che comporta il rifiuto di immagini tanto sfolgoranti quanto potenzialmente idolatriche. Ma sempre un interesse è: meglio riferibile, forse, a quelle tradizioni di teologia negativa in cui il dio è rivestito delle sue sembianze più vili, come nelle immagini irridenti e demistificanti delle Commedie di Aristofane o nelle figure deformi dell´arte mitologica di Paul Klee.

Repubblica 24.11.10